संख्या सिद्धांत में प्रयुक्त कुछ सामान्य सूत्र यहां दिए गए हैं
संख्या सिद्धांत में सामान्यतः प्रयुक्त होने वाले महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र और सर्वसमिकाएँ:
- यूक्लिड का सूत्र : पाइथागोरस त्रिक (a, b, c) उत्पन्न करने का सूत्र, जैसे कि a^2 + b^2 = c^2। यह बताता है कि: a = m^2 – n^2, b = 2mn, c = m^2 + n^2, जहाँ m और n धनात्मक पूर्णांक हैं और m > n है।
- अभाज्य गुणनखंड प्रमेय : एक परिणाम जो बताता है कि 1 से बड़ा प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक अभाज्य संख्याओं के एक अद्वितीय गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
- द्विपद प्रमेय : एक परिणाम जो घात (x + y)^n को द्विपद गुणांकों के योग के रूप में व्यक्त करता है।
- यूलर का सूत्र : संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण सूत्र जो समीकरण के मूलों के योग को समीकरण के गुणांकों से संबंधित करता है।
- यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन : संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन जो किसी दिए गए पूर्णांक n से छोटे पूर्णांकों की संख्या देता है जो n के सापेक्ष अभाज्य हैं। इस फ़ंक्शन को ग्रीक प्रतीक ϕ(n) द्वारा दर्शाया जाता है
- गॉस का द्विघात पारस्परिकता नियम : संख्या सिद्धांत का एक मौलिक प्रमेय जो कुछ प्रकार के डायोफैंटाइन समीकरणों की सुलझनीयता के लिए एक मानदंड देता है।
- जैकोबी का प्रतीक : लीजेंड्रे प्रतीक का एक सामान्यीकरण जो कुछ प्रकार के डायोफैंटाइन समीकरणों की सुलझनीयता निर्धारित करने के लिए एक मानदंड देता है।
- फर्मेट का लघु प्रमेय : एक परिणाम जो बताता है कि यदि p एक अभाज्य संख्या है और a एक पूर्णांक है जो p से विभाज्य नहीं है, तो a^pa, p से विभाज्य है।
- यूलर का मानदंड : एक परिणाम जो बताता है कि यदि p एक विषम अभाज्य संख्या है और a एक पूर्णांक है जो p से विभाज्य नहीं है, तो a^((p-1)/2) ≡ (a/p) (mod p),
- यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म : दो पूर्णांकों का महत्तम सार्व भाजक (GCD) ज्ञात करने की एक विधि।
- चीनी शेषफल प्रमेय : एक परिणाम जो बताता है कि यदि दो पूर्णांक a और b सापेक्षिक रूप से अभाज्य हैं, तो सर्वांगसमता प्रणाली x ≡ a (mod m) और x ≡ b (mod n) का एक अद्वितीय हल होता है।
- यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन : एक फ़ंक्शन जो किसी दिए गए पूर्णांक n तक के धनात्मक पूर्णांकों की संख्या की गणना करता है जो n के सापेक्ष अभाज्य हैं।
- विल्सन का प्रमेय : एक परिणाम जो बताता है कि यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो (p-1)! + 1, p से विभाज्य है।
- द्विघात पारस्परिकता : एक परिणाम जो एक विशेष प्रकार के डायोफैंटाइन समीकरण की सुलझनीयता निर्धारित करने के लिए एक मानदंड देता है।
- यूलर उत्पाद सूत्र : रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन को सरल कार्यों के अनंत उत्पाद के रूप में व्यक्त करने वाला सूत्र।
- मोबियस व्युत्क्रम सूत्र : एक पहचान जो किसी फ़ंक्शन के मानों को उसके व्युत्क्रम के मानों से संबंधित करती है।
- रामानुजन-नागेल प्रमेय : एक प्रमेय जो किसी पूर्णांक के दो वर्गों का योग होने का मानदंड देता है।
ये सूत्र और सर्वसमिकाएँ संख्या सिद्धांत के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं, जिनमें क्रिप्टोग्राफी, कोडिंग सिद्धांत और डायोफैंटाइन समीकरण शामिल हैं।
संख्या सिद्धांत क्या है?
संख्या सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो पूर्णांकों और पूर्णांक-मूल्यवान कार्यों के गुणों से संबंधित है। यह गणित का एक बहुत पुराना क्षेत्र है, जिसकी जड़ें प्राचीन ग्रीस और पाइथागोरस, यूक्लिड और अन्य लोगों के काम तक जाती हैं।
संख्या सिद्धांतकार पूर्णांकों और संबंधित वस्तुओं जैसे अभाज्य संख्याओं, डायोफैंटाइन समीकरणों और मॉड्यूलर रूपों के गुणों का अध्ययन करते हैं।
संख्या सिद्धांत द्वारा संबोधित कुछ मूलभूत प्रश्न इस प्रकार हैं:
- अभाज्य संख्याएँ : अभाज्य संख्याओं का वितरण एवं व्यवहार तथा गणित के अन्य क्षेत्रों में उनकी भूमिका।
- डायोफैंटाइन समीकरण : ऐसे समीकरणों के हल जहां अज्ञात पूर्णांक होते हैं और हल भी पूर्णांक होते हैं।
- मॉड्यूलर रूप (Modular form) : जटिल-मूल्यवान फलनों का अध्ययन जो एक जालक के संबंध में आवधिक होते हैं, जो गणित और भौतिकी के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं।
- बीजीय संख्या सिद्धांत : बीजीय पूर्णांकों और उनके गुणों का अध्ययन।
- अंकगणितीय ज्यामिति : बीजीय ज्यामिति के संदर्भ में पूर्णांकों पर समीकरणों के समाधान का अध्ययन।
- विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत : जटिल विश्लेषण और फूरियर विश्लेषण के उपकरणों का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं और अन्य संख्या-सिद्धांतिक कार्यों के वितरण का अध्ययन।
संख्या सिद्धांत के गणित के अन्य क्षेत्रों के साथ-साथ कंप्यूटर विज्ञान, क्रिप्टोग्राफी, भौतिकी और अन्य क्षेत्रों में भी कई अनुप्रयोग हैं। इसके मूल सिद्धांतों, तकनीकों और निष्कर्षों का उपयोग कई गणितीय और गैर-गणितीय विषयों में किया जाता है।
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