यहाँ कैलकुलस में प्रयुक्त कुछ सामान्य सूत्र दिए गए हैं

कैलकुलस गणित की एक शाखा है जो परिवर्तन और संचय की दरों के अध्ययन से संबंधित है।

कैलकुलस की दो मुख्य शाखाएँ हैं: डिफरेंशियल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस। यहाँ प्रत्येक शाखा में उपयोग किए जाने वाले कुछ सामान्य सूत्र और प्रमेय दिए गए हैं:

अंतर:

1. सीमा :
   • लिम x->af(x) = एल
2. व्युत्पन्न :
   • f'(x) = लिम (h->0) (f(x+h) – f(x))/h
   • घात नियम: f(x) = x^n , f'(x) = nx^(n-1)
   • स्थिर गुणन नियम: f(x) = cg(x), f'(x) = cg'(x)
   • योग नियम: f(x) = g(x) + h(x) , f'(x) = g'(x) + h'(x)
   • श्रृंखला नियम: f(g(x)) = g'(x) * f'(g(x))

अभिन्न:

1. अनिश्चित समाकलन:
   • ∫f(x)dx = एफ(x) + सी
2. निश्चित समाकलन:
   • ∫^b_af(x)dx = एफ(बी) – एफ(ए)
3. कलन का मूलभूत सिद्धांत:
   • ∫^b_af(x)dx = F(b) – F(a) = F(x) = f(x)dx = dF/dx
4. प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण:
   • ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du
5. भागों द्वारा एकीकरण:
   • ∫u(x)dv(x) = u(x)v(x) – ∫v(x)du(x)
6. त्रिकोणमितीय समाकलन:
   • ∫sin(x)dx = -cos(x) + सी, ∫cos(x)dx = sin(x) + सी
   • ∫sec^2(x)dx = tan(x) + सी, ∫sec(x)tan(x)dx = sec(x) + सी
   • ∫sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| + सी

*नोट: यह सभी सूत्रों की संपूर्ण सूची नहीं है, ऊपर केवल कुछ सबसे सामान्य सूत्रों का उल्लेख किया गया है। यह एक बहुत व्यापक विषय है, और अध्ययन के विशिष्ट क्षेत्रों जैसे कि मल्टीवेरिएबल, वेक्टर आदि के लिए कई अन्य सूत्र और प्रमेय मौजूद हैं।

मूल बातें

यह गणित की एक शाखा है जो परिवर्तन की दरों और संचित मात्राओं से संबंधित है। कलन की दो मुख्य शाखाएँ हैं: अंतर कलन और समाकलन कलन। अंतर कलन किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अध्ययन से संबंधित है, जो किसी विशेष बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर के बारे में जानकारी देता है। समाकलन कलन किसी फ़ंक्शन के समाकलन के अध्ययन से संबंधित है, जो किसी अंतराल पर फ़ंक्शन के संचित परिवर्तन के बारे में जानकारी देता है। ये दोनों शाखाएँ कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा जुड़ी हुई हैं।

मूलभूत प्रमेय

कैलकुलस का मूलभूत प्रमेय गणितीय विश्लेषण में एक मौलिक परिणाम है जो किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अवधारणा को फ़ंक्शन के समाकल की अवधारणा से जोड़ता है। प्रमेय के दो भाग हैं। पहला भाग बताता है कि यदि F(x) f(x) का प्रतिअवकलज है, तो अंतराल [a,b] पर f(x) का निश्चित समाकलन F(b) – F(a) के बराबर होता है। दूसरा भाग बताता है कि यदि f(x) एक सतत फ़ंक्शन है, तो F(x) = ∫f(x) dx f(x) का प्रतिअवकलज है, जहाँ ∫ समाकलन प्रतीक को दर्शाता है और dx एक अतिसूक्ष्म तत्व को दर्शाता है। ये दो भाग विभेदन और एकीकरण की अवधारणाओं को जोड़ते हैं और कैलकुलस की दो शाखाओं के बीच एक कड़ी प्रदान करते हैं।

इसका उपयोग विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोगों में किया जाता है।

इसके उपयोग के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

1. भौतिकी : इसका उपयोग भौतिकी में बेसबॉल से लेकर आकाशगंगाओं तक की वस्तुओं की गति को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह तरंगों, बिजली और चुंबकत्व को समझने में भी भूमिका निभाता है।
2. इंजीनियरिंग : इंजीनियर इसका उपयोग डिजाइनों को अनुकूलित करने के लिए करते हैं, जैसे कि किसी पुल की अधिकतम मजबूती या किसी हवाई जहाज के पंख के लिए सबसे कुशल आकार का पता लगाना।
3. अर्थशास्त्र : अर्थशास्त्र में इसका उपयोग यह अध्ययन करने के लिए किया जाता है कि अर्थव्यवस्था समय के साथ कैसे व्यवहार करती है, जैसे कि आपूर्ति और मांग के साथ बाजार की कीमतें कैसे बदलती हैं।
4. चिकित्सा : चिकित्सा में, इसका उपयोग इस बात के अध्ययन में किया जाता है कि शरीर में दवाओं का चयापचय कैसे होता है और वे जैविक प्रणालियों के साथ कैसे अंतःक्रिया करती हैं।
5. कंप्यूटर विज्ञान : डिजिटल छवियों के गुणों को समझने और ऑन-स्क्रीन वस्तुओं की गति को सुचारू करने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स, इमेज प्रोसेसिंग और मशीन लर्निंग में उपयोग किया जाता है।
6. जीवविज्ञान : जनसंख्या गतिशीलता, शरीरक्रिया विज्ञान और शरीरक्रिया विज्ञान, आनुवंशिकी, महामारी विज्ञान और पारिस्थितिकी सहित जीवविज्ञान के कई क्षेत्रों में विकास पैटर्न और अन्य घटनाओं को समझने के लिए उपयोग किया जाता है।

यह सूची संपूर्ण नहीं है, इसका उपयोग कई अन्य क्षेत्रों में भी किया जा सकता है।

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